LAS MATEMÀTICAS FUNDAMENTALES EN LA BIBLIOTECA DE ALEJANDRIA
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LA ENCICLOPEDIA MATEMÀTICA EN LINEA
MATEMÀTICA VS INTUICIÒN
Primos que se pueden manifestar como la suma de dos cuadrados naturales
Introducción
La fascinación que siento por la relación que existe entre los números primos y la suma de cuadrados es innegable. Este tema es un clásico en la teoría de números y cuenta con una rica historia en el ámbito matemático. A continuación, te explico cuáles son los números primos que se pueden representar como la suma de dos cuadrados perfectos, incluyendo algunos ejemplos para ilustrarlo.
Teorema de Fermat acerca de la Suma de Dos Cuadrados
El primer matemático en desentrañar este enigma fue Pierre de Fermat:
Un número primo p puede ser expresado como la suma de dos cuadrados naturales si y solo si p es igual a 2 o p es congruente a 1 módulo 4.
Esto significa que:
• El número primo 2 es único: $2 = 1^2 + 1^2$.
• Cualquier primo que sea de la forma $4k + 1$ (es decir, aquel que al dividirse por 4 deja un residuo de 1) ¡puede ser expresado como la suma de algún par de cuadrados naturales!
• En cambio, los primos de la forma $4k + 3$ jamás pueden ser representados de este modo.
¿Por qué sucede esto?
La explicación total involucra conceptos de álgebra y teoría de números que se desarrollan más adelante, pero lo fundamental es que las características de los residuos cuadrados impiden formar un cuadrado más otro cuadrado para los primos de la forma $4k + 3$.
Ejemplos concretos
Para ilustrar la teoría, aquí algunos ejemplos:
• $2 = 1^2 + 1^2$
• $5 = 2^2 + 1^2$
• $13 = 3^2 + 2^2$
• $17 = 4^2 + 1^2$ y también se puede escribir como $17 = 3^2 + 2^2$
• $29 = 5^2 + 2^2$
• $37 = 6^2 + 1^2$ y también se puede expresar como $37 = 4^2 + 3^2$
En contraste, primos como 3, 7, 11, 19, 23 y 31 (todos ellos de la forma $4k + 3$) no pueden ser escritos de esta manera.
Cómo identificarlos en la práctica
Para determinar si un primo puede ser expresado como la suma de dos cuadrados, solo debes observar el residuo al dividirlo entre 4:
• Si el residuo es 1 (por ejemplo: 5, 13, 17, 29, 37…) ¡puedes estar seguro de que puedes descomponerlo en la suma de dos cuadrados!
Reflexión final
Me gusta pensar que en las matemáticas se esconden patrones hermosos como este en lugares inesperados, y cada vez que me encuentro con un número primo que es congruente con 1 módulo 4, ya imagino los dos cuadrados que juntos conforman ese número.
mes del libro 12 de mayo 2025
problema 1.
¿Cuál es el valor de (x) y de (y) que satisfacen la ecuación: yx+29y+17x = 6394 siendo (x,y) números naturales donde y > x ? (Resolver analíticamente).
problema 2.
¿Encuentra 2 números complejos en forma polar sabiendo que su división es 2 150 º y su multiplicación 18 90 º?
problema 3.
.Un móvil tiene una velocidad de 76 m/s ¿calcular la distancia que recorre en 245 segundos?
problema 4.
¿ Implica necesariamente
la ecuación
?
problema 5.
¿Por qué 1+1=3 quien me lo explica?
problema 6.
Cuando mi hermano tenía 5 años, yo tenía la mitad de su edad. Ahora tengo 30 años, ¿cuántos años tiene mi hermano?
problema 7.
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