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el abril 05, 2025

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Teorema de Nicómaco: Enunciado y Demostración Teorema de Nicómaco Enunciado formal El Teorema de Nicómaco , atribuido al filósofo y matemático neopitagórico Nicómaco de Gerasa (≈100 d.C.), establece que la suma de los cubos de los primeros n números naturales es igual al cuadrado de la suma de los mismos n números. Formalmente: 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)² Este resultado puede escribirse de forma más compacta con notación de sumatorio: ∑ₖ₌₁ⁿ k³ = (∑ₖ₌₁ⁿ k)² Demostración algebraica paso a paso A continuación se presenta una prueba por inducción del Teorema de Nicómaco : Caso base (n=1): 1³ = 1 = (1)². Queda verificado que la identidad se cumple para n=1. Paso inductivo : Hipótesis inductiva : supongamos que la fórmula es cierta para un entero k≥1, es decir ∑ₖ₌₁ᵏ k³ = (∑ₖ₌₁ᵏ k)². Objetivo : probar que entonces ∑ₖ₌₁ᵏ₊₁ k³ = (∑ₖ₌₁ᵏ₊₁ k)². Partimos de la suma hasta k+1: ∑ₖ₌₁ᵏ₊₁ k³ = (∑ₖ₌₁ᵏ k³) + (k+1)³. Por la hipótesis inductiva, esto es = (1 + 2 + … + k)² + (...

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